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算几不等式的应用(1)

2020-07-28


本网站的文章中,屏东高中杨琼茹老师的〈算几不等式〉与兰阳女中陈敏晧老师的〈算几不等式的证明(Ⅰ)〉、〈算几不等式的证明(Ⅱ)〉已详细说明了何谓算几不等式,并给出了多种证明。本文将举几例说明算几不等式在高中数学中的应用,并提醒读者在应用算几不等式时常犯的错误。

在高中数学中的算几不等式最主要用于求最大、最小值。比如说,翰林版课本《普通高级中学数学1》中给的例子就是「使用一条 \(24\) 公分长的绳子围一长方形,试求所有长方形中面积最大的长方形面积为何?并求此长方形的长、宽。」

此题只要假设长、宽分别为 \(a\)、\(b\),得 \(a+b=12\),再利用算几不等式 \(6=\frac{a+b}{2}\le \sqrt{ab}\),就可轻易求得面积的最大值为 \(36\),且此时的长方形恰为边长为 \(6\) 的正方形(参阅图一)。

算几不等式的应用(1)

图一(本文作者林仓亿绘)

这类求几何量的最大、最小值的应用,在高中数学科能力竞赛中也经常出现。例如98学年度台湾省第一区的数学科能力竞赛笔试(一)的题目中就有

「在直角三角形 \(ABC\) 中,\(\angle C=90^\circ\),\(\overline{AB}=c,\overline{BC}=a,\overline{CA}=b\)。
试证:\((1)c

此题只需要利用毕氏定理 \(c^2=a^2+b^2\),再加上算几不等式 \(a^2+b^2\ge 2\sqrt{a^2b^2}=2ab\),

就可以得到 \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab=c^2+2ab\le c^2+c^2=2c^2\),

即 \(a+b\le \sqrt{2}c\),同时也得知当 \(a+b=\sqrt{2}c\) 的充要条件就是三角形 \(ABC\) 为等腰直角三角形(参阅图二)。

算几不等式的应用(1)

图二(本文作者林仓亿绘)

类似的例子亦可见于101学年度台湾省花莲区的数学科能力竞赛笔试(二):

「已知直角三角形面积为 \(a\),则其周长的最小值为________。」

我们可假设两股为 \(x,y\),斜边为 \(\sqrt{x^2+y^2}\),则 \(\frac{1}{2}xy=a\Rightarrow xy=2a\),

再由算几不等式可得

\(x+y\ge 2\sqrt{xy}=2\sqrt{2}\sqrt{a}\) 与 \(\sqrt{x^2+y^2}\ge \sqrt{2\sqrt{x^2y^2}}=\sqrt{2xy}=\sqrt{2}\sqrt{a}\),

这两者等号成立的充要条件都是 \(x=y\),

因此,我们可以知道周长 \(x+y+\sqrt{x^2+y^2}\) 的最小值就是 \((2\sqrt{2}+2)\sqrt{a}\),

也就是发生在等腰直角三角形的时候(参阅图三)。

算几不等式的应用(1)

图三(本文作者林仓亿绘)

上述三个例子,都是利用算几不等式,求出在特定条件之下,某个几何量的最大或最小值,也就是算几不等式在几何中的应用。同时算几不等式等号成立的条件,可帮助我们认识在最大或最小值发生时,该几何图形会有何特殊性质。特别值得注意的是,最大或最小值发生时的充要条件是算几不等式的等号成立时;换句话说,当等号不成立时,所得之值就不会是最大或最小值了。

关于最大或最小值的说明,请先看一个简单的例子:若 \(x\le 2\),那显然 \(2\) 就是 \(x\) 的最大值。不过,要是 \(x<2\),那 \(x\) 的最大值还会是 \(2\) 吗?既然 \(2\) 不会是 \(x\) 的值,那幺当然也就不会是 \(x\) 的最大值!事实上,在 \(x<2\) 的条件下,\(x\) 并没有最大值,我们只能称呼 \(2\) 是的上界中最小的上界,简称为「最小上界 (the least upper bound or supremum)」。

因此,等号成立与否,对最大、最小值有决定性的影响。下面这个例子笔者先提供常见的错误解法,读者不妨先找找碴,再看正确的解法。解法中用到海龙公式,不熟悉此公式的读者,可先参阅本网站兰阳女中陈敏晧老师所写之〈数学之旅:三角形面积公式(Ⅱ)〉。

周长为 \(24\) 的三角形,面积最大值为何?

【错误解法】:

设三边长为 \(a,b,c,\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}=12\),

由海龙公式知三角形面积\(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\),

利用算几不等式可得\(\displaystyle \frac{s+(s-a)+(s-b)+(s-c)}{4}\ge \sqrt[4]{s(s-a)(s-b)(s-c)}\),

左式\(=\displaystyle\frac{4s-(a+b+c)}{4}=6\),

故三角形面积\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\le 6^2=36\),故最大值为 \(36\)。

【正确解法】:

设三边长为 \(a,b,c,\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}=12\),

由海龙公式知三角形面积\(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\),

利用算几不等式可得\(\displaystyle \frac{(s-a)+(s-b)+(s-c)}{3}\ge \sqrt[3]{(s-a)(s-b)(s-c)}\),

左式\(=\displaystyle\frac{3s-(a+b+c)}{3}=4\),

故 \((s-a)(s-b)(s-c)\le 4^3\\\Rightarrow \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\le \sqrt{4^3s}=\sqrt{4^3\cdot 12}=16\sqrt{3}\)

等号成立的充要条件为 \(a=b=c\),即当三角形为正三角形时,面积有最大值 \(16\sqrt{3}\)。

两相比较之下,读者应不难发现「错误解法」中的等号是不可能成立的,也就是 \(s,s-a,s-b,s-c\) 是不可能相等的(除非 \(a=b=c=0\),但这与 \(a,b,c\) 是边长的假设矛盾)。

连结: 算几不等式的应用(2)


参考文献



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